Определение. Элемент MΪ È{-¥,+¥} называется точной нижней гpанью или инфимумом множества A̪, если
1) M является нижней гранью множества A и
2) любое число M1, большее M, не является нижней гранью множества A.
Замечание 1. Непосредственно из определений следует, что элемент MΪÈ{-¥,+¥} является нижней гранью множества A̪, тогда и только тогда, когда -M является верхней гранью множества -A.
Замечание 2. Из замечания 1 следует, что элемент MΪ È{-¥,+¥} является инфимумом множества A̪, тогда и только тогда, когда -M является супремумом множества -A.
Из замечания 2 и теоремы 1 следует
Теорема 2. Для любого непустого числового множества инфимум существует и единствен.
Определение. Пусть задано непустое множество A̪. Инфимум множества A будем обозначать через inf A.
Из замечания 2 и теоремы 1 следуетЗамечание 3. Если множество A ограничено снизу, то inf AΪ, иначе inf A = -¥.