Требуется доказать замкнутость компакта X̪, то есть, что любой x0 - точки прикосновения множества X справедливо условие
x0 Î X (1)
В силу критерия точки прикосновения существует последовательность {xn} такая, что
limn®¥xn = x0 (2)
и" nΧ Ð xnÎX
По определению компакта существует подпоследовательность {xmk}, сходящаяся к некоторому x1ÎX:
limk®¥xmk = x1 (3)
Из (2) следует, что
limk®¥xmk = x0
Отсюда и из (3) получаем равенство x0=x1, которое вместе с условием x1ÎX доказывает требуемое условие (1). 0