Обозначим A = sup{f(x), где x: xÎ(x0-d;x0)}. Согласно определению супремума, имеем:
" xÎ(x0-d;x0) Ð f(x) £ A (1)
и" y<A $ xÎ(x0-d;x0): f(x) > y (2)
Требуется доказать, что limx®x0-0f(x) = A. Согласно определению предела по Коши требуется доказать, что для любого e>0 существует d1>0 :
" xÎ(x0-d1;x0) Ð f(x)ÎÊe(A) (3)
Рассмотрим сначала случай, когда AΪ. Применяя условие (2) для y = A-e, получим существование x1Î(x0-d;x0) такого, что f(x1) > A-e. Определим d1 = x0-x1. Тогда при xÎ(x0-d1;x0) из нестрого возрастания функции f следует, что f(x) ³ f(x0-d1) = f(x1) > A-e. Кроме того, из (1) следует, что f(x) £ A. Поэтому f(x)ÎÊe(A), то есть, выполнено условие (3).
В случае A=+¥, применяя условие (2) для y = 1/e, получим существование x1Î(x0-d;x0) такого, что f(x1) > 1/e. Определим d1 = x0-x1. Тогда при xÎ(x0-d1;x0) из нестрого возрастания функции f следует, что f(x) ³ f(x0-d1) = f(x1) > 1/e. Поэтому f(x)ÎÊe(+¥), то есть, выполнено условие (3).
В случае A=-¥, применив условие (1) для x = x0-d/2, получим f(x0-d/2) £ -¥ - противоречие. Поэтому случай A=-¥ невозможен. 0