В силу теоремы о пределе модуля
limn®¥ |an| = |A|.
Отсюда, положив в определении предела e = |A|/2, получаем, что существует N:
" n³N Ð |an| > |A|-e = |A|/2
следовательно," n³N Ð 1/|an| < 2/|A| (1)
Согласно определению ограниченной последовательности требуется доказать, что
$ M: " n Ð 1/|a_n| £ M (2)
Определим числа
M1 = max {1/|a_n|, где n: n£N} и
M = max{M1, 2/|A|}
Тогда при n³N в силу (1) справедливо неравенство 1/|an| < 2/|A|, а при n<N по определению максимума справедливо неравенство 1/|an| < M1. Следовательно, выполнено условие (2). 0