В силу теоремы о пределе модуля

limn®¥ |an| = |A|.

Отсюда, положив в определении предела e = |A|/2, получаем, что существует N:

" n³N Ð |an| > |A|-e = |A|/2

следовательно,

" n³N Ð 1/|an| < 2/|A|         (1)

Согласно определению ограниченной последовательности требуется доказать, что

$ M: " n Ð 1/|a_n| £ M         (2)

Определим числа

M1 = max {1/|a_n|, где n: n£N} и

M = max{M1, 2/|A|}

Тогда при n³N в силу (1) справедливо неравенство 1/|an| < 2/|A|, а при n<N по определению максимума справедливо неравенство 1/|an| < M1. Следовательно, выполнено условие (2).   0

Назад