§ 12. Счетные и несчетные множества
Определение. Пусть заданы множества A, B и отображение f, действующее из A и B. Будем говорить, что f задает взаимно однозначное соответствие множеств A и B и писать f ' A«B, если
1) " aÎA Ð f(a)ÎB и
2) " bÎB $! aÎA: f(a)=b,
то есть,2a) " bÎB $ aÎA: f(a)=b
и2b) " a1ÎA, a2ÎA : f(a1)=f(a2) Ð a1=a2
Определение. Будем говроить, что множество A равномощно множеству B, если существует взаимно однозначное соответствие множеств A и B.
Определение. Множество A называется конечным, если оно равномощно множеству натуральных чисел от 1 до N. При этом число N называется числом элементов множества X.
Заметим, что мы уже неоднократно пользовались тем фактом, что для конечного множества действительных чисел существуют минимум и максимум. Этот факт можно доказать индукцией по числу элементов множества.
Определение. Множество A называется счетным, если оно равномощно множеству натуральных чисел §.
Определение. Множество A называется несчетным, если оно бесконечно и не является счетным.