Пусть последовательность {an} фундаментальна. Применяя определение фундаментальности для e=1, получим существование N:
" n³N, m³N Ð |an-am|<1 (1)
Требуется доказать ограниченность {an}, то есть, существование M такого, что для любого n справедливо неравенство |an| £ M.
Определим M1 = max{|an|, где n: n£N}, M = max{M1,|aN|+1}.
При n£N из определения максимума множества {|an|, где n: n£N} следует неравенство |an| £ M1. При n>N из условия (1) и неравенства треугольника следует неравенство |an| £ |aN|+1. Поэтому неравенство |an| £ M справедливо при любом nΧ. 0