Предположим противное: последовательность {an} имеет два различных предела A и B.
В силу леммы 2 существует такое число e > 0, что окрестности Êe(A) и Êe(B) не пересекаются.
С другой стороны, из определения предела следует
$ N1 : n ³ N1 Ð anÎÊe(A)
и$ N2 : n ³ N2 Ð anÎÊe(B)
Поэтому при n = max{N1,N2} получаем, что anÎÊe(A) и anÎÊe(B), то есть, окрестности Êe(A) и Êe(B) пересекаются. Противоречие. 0