Определение. Будем говорить, что функция f(x) нестрого возрастает на множестве X̪, если для любых x1, x2Î X таких, что x1£x2 справедливо неравенство f(x1)£f(x2).
Будем говорить, что функция f(x) нестрого убывает на множестве X̪, если для любых x1, x2Î X таких, что x1£x2 справедливо неравенство f(x1)³f(x2).
Будем говорить, что функция f(x) строго возрастает на множестве X̪, если для любых x1, x2Î X таких, что x1<x2 справедливо неравенство f(x1)<f(x2).
Будем говорить, что функция f(x) строго убывает на множестве X̪, если для любых x1, x2Î X таких, что x1<x2 справедливо неравенство f(x1)>f(x2).
Теорема. Пусть функция f(x) нестрого возрастает на интервале (x0-d;x0). Тогда односторонний предел limx®x0-0f(x) существует (конечный или бесконечный) и равен супремуму множества значений f(x), где xÎ(x0-d;x0).
Задача. Пусть функция f(x) нестрого убывает на интервале (x0-d;x0). Доказать, что односторонний предел limx®x0-0f(x) существует (конечный или бесконечный) и равен инфимуму множества значений f(x), где xÎ(x0-d;x0).
Задача. Пусть функция f(x) нестрого возрастает на интервале (x0;x0+d). Доказать, что односторонний предел limx®x0+0f(x) существует (конечный или бесконечный) и равен инфимуму множества значений f(x), где xÎ(x0;x0+d).
Задача. Пусть функция f(x) нестрого убывает на интервале (x0;x0+d). Доказать, что односторонний предел limx®x0+0f(x) существует (конечный или бесконечный) и равен супремуму множества значений f(x), где xÎ(x0;x0+d).