По определению степени с вещественным показателем ax = limn®¥ aqn, где {qn} - последовательность рациональных чисел такая, что limn®¥ qn = x. Так как x > 0, то по определению предела последовательности существует натуральное число N такое, что
" n³N Ð |qn-x| < x/2
Определим натуральное число m = [2/x]+1. Тогда 1/m £ x/2, следовательно,
" n³N Ð qn ³ 1/m
Отсюда в силу свойств степени с рациональным показателем получаем неравенство aqn ³ a1/m при n³N. По теореме о предельном переходе в неравенстве имеем: limn®¥ aqn ³ a1/m. Следовательно, ax ³ a1/m > 0. 0