Пусть последовательность {xn} неограничена сверху, то есть,
" MΪ $ n: xn > M (1)
Покажем, что
" MΪ, NΧ $ n>N: xn > M (2)
Пусть заданы MΪ, NΧ. Определим M1 = max{an, где n: n£N}. Тогда из условия (1) следует существование такого n, что xn > max{M,M1}. Из определения максимума множества {an, где n: n£N} получаем, что n>N, то есть, выполнено условие (2).
Следовательно, существует функция n(M,N) такая, что
" MΪ, NΧ Ð n(M,N)>N и xn(M,N) > M (3)
Рекурсивно определим последовательность натуральных чисел {mi}:
m1 = n(1,1), mi+1 = n(i+1,mi)
Из условия (3) следует строгое возрастание последовательности {mi} и условие
" k Ð xmk > k
Отсюда и из равенства limk®¥k = +¥ (см. задачу из §3) по теореме о двух последовательностях получаем, что
limk®¥xmk = +¥. Поэтому +¥ является частичным пределом последовательности {xn}. 0