Докажем условие limx®0+0 (1+x)1/x = â с помощью определния одностороннего предела функции по Гейне. Согласно этому определению требуется доказать, что для любой последовательности {xk} такой, что
limk®¥ xk = 0 и " k Ð xk>0 (1)
выполнено условие limk®¥ (1+xk)1/xk = â (2)
Из условия limk®¥ xk = 0 следует, что существует натуральное число N0 такое, что
" k³N0 Ð xk<1
Определим последовательность натуральных чисел {nk} такую, что nk = [1/xk] при k³N0. Тогда, согласно определению целой части, получаем, что
" k³N0 Ð nk £ 1/xk < nk+1 (3)
Следовательно,
" k³N0 Ð 1 + 1/(nk+1) £ 1+xk £ 1 + 1/nk (4)
Определим последовательности {ak} и {bk}
ak = (1 + 1/(nk+1))nk и
bk = (1 + 1/nk)nk+1
Из условий (3), (4) следует, что
" k³N0 Ð ak £ (1+xk)1/xk £ bk (5)
Из условий (1) следует, что limk®¥ 1/xk = +¥. Отсюда и из неравенств (3) по теореме о двух последовательностях получаем условие
limk®¥ nk = +¥ (6)
Применяя лемму 1 к последовательностям натуральных чисел {nk} и {nk+1}, получаем соотношения
limk®¥ (1+1/nk)nk = â (7)
иlimk®¥ (1+1/(nk+1))nk+1 = â (8)
Поскольку, согласно (6), справедливо условие limk®¥ (1+1/nk) = 1, то из (7) и равенства bk = (1+1/nk)nk × (1+1/nk) по теореме о пределе произведения двух последовательностей получаем, что
limk®¥ bk = â (9)
Поскольку, согласно (6), справедливо условие limk®¥ (1+1/(nk+1)) = 1, то из (8) и равенства ak = (1+1/(nk+1))nk+1 / (1+1/(nk+1)) по теореме о пределе частного двух последовательностей получаем, что
limk®¥ ak = â (10)
Из условий (5), (9), (10) по теореме о трех последовательностях получаем доказываемое условие (2). 0