По определению степени с вещественным показателем ax = limn®¥ aqn, где {qn} - последовательность рациональных чисел такая, что limn®¥ qn = x. Так как x > 0, то по определению предела последовательности существует натуральное число N такое, что

" n³N Ð |qn-x| < x/2

Определим натуральное число m = [2/x]+1. Тогда 1/m £ x/2, следовательно,

" n³N Ð qn ³ 1/m

Отсюда в силу свойств степени с рациональным показателем получаем неравенство aqn ³ a1/m при n³N. По теореме о предельном переходе в неравенстве имеем: limn®¥ aqn ³ a1/m. Следовательно, ax ³ a1/m > 0.   0

Назад