§ 3. Критерий Коши

Для доказательства критерия Коши существования предела функции потребуются следующие леммы.

    Лемма 1.   Пусть заданы две последовательности {xk} и {yk}. Тогда можно построить последовательность {zn} такую, что подпоследовательность элементов с четными номерами {z2×k} совпадает с последовательностью {xk}, а подпоследовательность элементов с нечетными номерами {z2×k-1} совпадает с последовательностью {yk}.

Логическая_формулировка Доказательство Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

    Лемма 2.   Пусть последовательность {zn} получена соединением двух последовательностей {xk} и {yk}, то есть,

" k Ð z2×k = xk и z2×k-1 = yk

Пусть задано AΪÈ{-¥,+¥}. Тогда условие limn®¥ zn = A эквивалентно выполнению двух условий limk®¥ xk = A и limk®¥ yk = A.

Логическая_формулировка Доказательство Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

    Лемма 3.   Пусть заданы точка x0ΪÈ{-¥,+¥} и функция f(x). Пусть для любой последовательности Гейне {xn} в точке x0 существует конечный предел последовательности {f(xn)}. Тогда этот предел не зависит от последовательности Гейне {xn}. То есть, существует число A такое, что для любой последовательности Гейне {xn} в точке x0 число A является пределом последовательности {f(xn)}.

Логическая_формулировка Доказательство Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

    Критерий Коши существования предела функции.   Пусть заданы точка x0ΪÈ{-¥,+¥} и функция f(x). Существование конечного предела функции f в точке x0 эквивалентно следующему условию Коши:

" e>0 $ d>0 : " x1,x2ÎÉd(x0) Ð |f(x1)-f(x2)|<e

Логическая_формулировка Доказательство Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

В частном случае, когда x0Ϊ, критерий Коши можно сформулировать так.

    Критерий Коши существования предела функции в конечной точке.   Пусть заданы точка x0Ϊ и функция f(x). Существование конечного предела функции f в точке x0 эквивалентно следующему условию Коши:

" e>0 $ d>0 : " x1,x2: x1¹x0 и x2¹x0 и |x1-x0|<d и |x2-x0|<d Ð |f(x1)-f(x2)|<e

Логическая_формулировка Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

Предыдущая_страница Следующая_страница