Определение. Образом f(X) множества X̪ при отбражении, заданном функцией f(x), будем называть множество значений функции f на X:
f(X) = {f(x), где x: xÎX}
Лемма. Пусть функция f(x) непрерывна на компакте X̪. Тогда образ множества X при отображении f является компактом.
Теорема Вейерштрасса о существовании максимума непрерывной функции на отрезке. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Тогда существует максимальное значение функции на этом отрезке:
$ x0Î[a;b] : " xÎ[a;b] Ð f(x0) ³ f(x)
Задача. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Доказать, что существует минимальное значение функции на этом отрезке:
$ x0Î[a;b] : " xÎ[a;b] Ð f(x0) £ f(x)
Задача. Доказать, что если функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она ограничена на этом отрезке, то есть, ограничено множество значений f(X).