Далее мы докажем счетность множества рациональных чисел. Для этого понадобятся следующие леммы.
Лемма 1. Любое подмножество множества натуральных чисел конечно или счетно.
Лемма 2. Пусть элементы множества X можно занумеровать, то есть, каждому элементу xÎ X поставить в соответствие его номер f(x)Χ так, что различным элементам будут соответствовать различные номера. Тогда множество X конечно или счетно.
Лемма 3. Множество рацинальных чисел © бесконечно.
Теорема. Множество рацинальных чисел © счетно.