Из непрерывности и строго возрастания f(x) на [a;b] следует, что f([a;b]) = [f(a);f(b)]. Поэтому в силу условия теоремы y0Î(f(a);f(b)] получаем, что y0Îf([a;b]). Следовательно, y0 = f(x0), где x0Î[a;b]. Так как f(x0)¹f(a), то x0Î(a;b].
Так как функция f(x) строго возрастает на отрезке [a;b], то обратная к ней функция g(y) строго возрастает на множестве f([a;b]) = [f(a);f(b)]. По теореме о существовании одностороннего предела монотонной функции limy®y0-0 g(y) = sup{g(y), где y: yÎ(f(a);y0)}. Поэтому для доказательства того, что функция g(y) непрерывна слева в точке y0, осталось проверить, что sup{g(y), где y: yÎ(f(a);y0)} = g(y0), то есть,
" yÎ(f(a);y0) Ð g(y) £ g(y0) (1)
и" x<g(y0) $ y1Î(f(a);y0): g(y1)>x (2)
Условие (1) следует из возрастания функции g(y). Пусть x < g(y0). Определим c = max{a,x}, x1 = (x0+c)/2, y1 = f(x1). Так как x < g(y0) = x0, то c < x0, следовательно, x1Î(a;x0). Отсюда в силу строго возрастания функции f(x) получаем, что y1 = f(x1) Î (f(a);f(x0)) = (f(a);y0). Поскольку g(y1) = g(f(x1)) = x1 > x, то условие (2) также выполнено. 0