Некоторые теоремы удобно доказывать методом деления отрезка пополам. Этот метод основан на рекурсивном построении последовательности отрезков [ak;bk] так, что каждый следующий отрезок [ak+1;bk+1] равен левой или правой половине предыдущего отрезка [ak;bk]. При применении метода деления отрезка пополам полезна следующая теорема.
Теорема для метода деления пополам. Если задана последовательность отрезков [ak;bk] такая, что каждый следующий отрезок [ak+1;bk+1] равен левой или правой половине предыдущего отрезка [ak;bk], то существует x0 - общая точка всех отрезков [ak;bk], причем x0 является пределом последовательностей {ak} и {bk}.
Теорема Больцано - Вейерштрасса. Любая ограниченная последовательность имеет хотя бы один конечный частичный предел.
Теорема. Любая неограниченная сверху последовательность имеет частичный предел, равный +¥.
Задача. Доказать, что любая неограниченная снизу последовательность имеет частичный предел, равный -¥.
Из сказанного выше следует
Обобщенная теорема Больцано - Вейерштрасса. Любая числовая последовательность имеет хотя бы один конечный или бесконечный частичный предел.