§ 8. Принцип вложенных отрезков
Теорема Кантора 1. Если {[ak;bk]} - последовательность вложенных отрезков, то есть [ak+1;bk+1]Ì[ak;bk] для любого натурального k, то существует точка xΪ, общая для всех отрезков [ak;bk].
Лемма 1. Если x,y - общие точки стягивающейся последовательности отрезков {[ak;bk]}, то есть такой, что limk®¥(bk-ak) = 0, то x=y. Иными словами стягивающаяся последовательность отрезков может иметь не более одной общей точки.
Из теоремы Кантора 1 и леммы 1 следуетТеорема Кантора 2. Если {[ak;bk]} - стягивающаяся последовательность вложенных отрезков, то есть [ak+1;bk+1]Ì[ak;bk] для любого натурального k и limk®¥(bk-ak) = 0, то существует единственная точка xΪ, общая для всех отрезков [ak;bk].