Пусть
" k Ð z2×k = xk и z2×k-1 = yk (1)
Покажем сначала, что из условия limn®¥ zn = A следуют условия limk®¥ xk = A и limk®¥ yk = A.
Условие limn®¥ zn = A означает, что
" e>0 $ N : " n³N Ð |zn-A|<e
Так как 2×k>k при kΧ, то получаем:
" e>0 $ N : " k³N Ð |z2×k-A|<e
Отсюда и из равенства z2×k = xk по определению предела последовательности следует, что limk®¥ xk = A. Аналогично, limk®¥ yk = A.
Покажем теперь, что из условий limk®¥ xk = A и limk®¥ yk = A следует условие limn®¥ zn = A.
Требуется доказать, что для любого e>0 существует натуральное число N такое, что
" n³N Ð |zn-A|<e (2)
Из условий limk®¥ xk = A и limk®¥ yk = A по определению предела последовательности получаем существование натуральных чисел N1, N2 таких, что
" k³N1 Ð |xk-A|<e (3)
и" k³N2 Ð |yk-A|<e (4)
Определим N = max{2×N1,2×N2-1} и проверим условие (2). Пусть n³N. Если число n четное, то n=2×k и, согласно (1), zn = xk. Из неравенств n³N³2×N1 получаем k³N1 и, в силу (3), |zn-A|<e. Если число n нечетное, то n=2×k-1 и, согласно (1), zn = yk. Из неравенств n³N³2×N2-1 получаем k³N2 и, в силу (4), |zn-A|<e. То есть, выполнено условие (2). 0