Требуется доказать замкнутость компакта X̪, то есть, что любой x0 - точки прикосновения множества X справедливо условие

x0 Î X      (1)

В силу критерия точки прикосновения существует последовательность {xn} такая, что

limn®¥xn = x0     (2)

и

" nΧ Ð xnÎX

По определению компакта существует подпоследовательность {xmk}, сходящаяся к некоторому x1ÎX:

limk®¥xmk = x1     (3)

Из (2) следует, что

limk®¥xmk = x0

Отсюда и из (3) получаем равенство x0=x1, которое вместе с условием x1ÎX доказывает требуемое условие (1).   0

Назад