Аксиомы действительных чисел
Определение. Будем говорить, что на множестве X определена операция сложения (умножения), если любым двум элементам a,bÎX поставлен в соответствие элемент a+bÎX (a×bÎX). Будем говорить, что на множестве X определено отношение порядка £, если для любых двух элементов a,bÎX известно, справедливо или не справедливо неравенство a £ b.
Определение. Множеством действительных (вещественных) чисел ª называется множество, на котором определены операции сложения (+) и умножения (×) и отношение порядка (£), удовлетворяющие следующим 16 аксиомам, и которое состоит более, чем из одного элемента.
1) "a,bΪ Рa+b=b+a
2) "a,b,cΪ Р(a+b)+c=a+(b+c)
3) $0Ϊ : "aΪ Рa+0=a
4) "aΪ $-aΪ : a+(-a)=0
5) "a,bΪ Ð a×b=b×a
6) "a,b,cΪ Ð (a×b)×c=a×(b×c)
7) $1Ϊ : "aΪ Ð a×1=a
8) "aΪ\{0} $(1/a)Ϊ : a×(1/a)=1
Аксиома связи сложения и умножения (дистрибутивность).
9) "a,b,cΪ Ð a×(b+c)=a×b+a×c