Докажем сначала, что из обратимости функции f(x) на X следует существование обратной функции к f(x) на X. По определению образа множества Y = f(X)
" yÎY $ xÎX: y=f(x)
Следовательно, существует функция g(y) такая, что
" yÎY Ð g(y)ÎX и y=f(g(y)) (1)
Покажем, что функция g(y) является обратной к функции f(x) на множестве X, то есть, для любого xÎX справедливо равенство
g(f(x)) = x (2)
Пусть xÎX. Тогда f(x)ÎY и, в силу (1) получаем:
f(x)=f(g(f(x)) (3)
По определению обратимой функции из равенства (3) следует равенство (2).
Пусть теперь для функции f(x) существует обратная на множестве X функция g(y), то есть,
" xÎX Ð g(f(x)) = x (4)
Покажем, что функция f(x) обратима на X, то есть для любых x1,x2 Î X из равенства f(x1) = f(x2) следует равенство x1 = x2. Из равенства f(x1) = f(x2) и условия (4) получаем:
x1 = g(f(x1)) = g(f(x2)) = x2. 0