Из сходимости последовательности {qn} следует ее ограниченность. Поэтому существует натуральное число M такое, что

" n Ð |qn| £ M     (1)

В силу критерия Коши из сходимости последовательности {qn} следует ее фундаментальность, то есть,

" e>0 $ N : " n³N, m³N Ð |qn-qm| < e     (2)

Покажем, что

" e>0 $ N : " n³N, m³N Ð aqm-qn - 1 < e     (3)

Пусть задано e>0. В силу леммы 1 справедливо условие limn®¥ a1/n = 1. Поэтому существует натуральное число N0 такое, что

|a1/N0-1| < e     (4)

Из условия (2) получаем существование натурального числа N такого, что

" n³N, m³N Ð |qn-qm| < 1/N0

Отсюда, учитывая неравенство (4) и монотонность функции aq при рациональных q, при любых n³N, m³N получаем неравенство

aqm-qn - 1 < a1/N0 - 1 < e

Тем самым доказано условие (3).

Согласно критерию Коши для доказательства сходимости последовательности {aqn} достаточно доказать ее фундаментальность, то есть, что для любого e>0 существует натуральное число N такое, что

" n³N, m³N Ð |aqn - aqm| < e     (5)

Из условия (3) следует существование натурального числа N такого, что

" n³N, m³N Ð aqm-qn - 1 < e×a-M

Умножая последнее неравенство на aqn и учитывая условие (1), получаем, что для любых n³N, m³N справедливо неравенство

aqm - aqn < e×aqn-M < e,

В силу равноправности индексов n и m, имеем также aqn - aqm < e. Это доказывает условие (5) и завершает доказательство теоремы в случае a>1.   0

Назад