§ 9. Второй замечательный предел

В этом параграфе, будет доказано, что второй замечательный предел limx®0 (1+x)1/x существует и равен числу â. Сначала докажем вспомогательную лемму.

    Лемма 1.   Пусть {nk} - последовательность натуральных чисел, стремящаяся к +¥. Тогда

limk®¥ (1+1/nk)nk = â

Логическая_формулировка Доказательство Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

    Лемма 2.   limx®0+0 (1+x)1/x = â

Логическая_формулировка Доказательство Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

    Лемма 3.   limx®0-0 (1+x)1/x = â

Логическая_формулировка Доказательство Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

Из лемм 1, 2 следует второй замечательный предел:

    Теорема 1.   limx®0 (1+x)1/x = â

Логическая_формулировка Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

Теперь получим следствия из второго замечательного предела.

    Теорема 2.   limx®0 ln(1+x)/x = 1

Логическая_формулировка Доказательство Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

    Теорема 3.   limx®0 (âx-1)/x = 1

Логическая_формулировка Доказательство Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

Предыдущая_страница Следующая_страница