§ 9. Второй замечательный предел
В этом параграфе, будет доказано, что второй замечательный предел limx®0 (1+x)1/x существует и равен числу â. Сначала докажем вспомогательную лемму.
Лемма 1. Пусть {nk} - последовательность натуральных чисел, стремящаяся к +¥. Тогда
limk®¥ (1+1/nk)nk = â
Лемма 2. limx®0+0 (1+x)1/x = â
Лемма 3. limx®0-0 (1+x)1/x = â
Из лемм 1, 2 следует второй замечательный предел:Теорема 1. limx®0 (1+x)1/x = â
Теперь получим следствия из второго замечательного предела.
Теорема 2. limx®0 ln(1+x)/x = 1
Теорема 3. limx®0 (âx-1)/x = 1