§ 4. Односторонние пределы
Дадим определения односторонних пределов функции по Коши.
Определение. Пусть заданы точка x0Ϊ и функция f(x). Будем говорить, что AΪÈ{-¥,+¥} является пределом слева в точке x0 функции f(x) и писать limx®x0-0f(x) = A, если
" e>0 $ d>0 : " xÎ(x0-d;x0) Ð f(x)ÎÊe(A)
Будем говорить, что AΪÈ{-¥,+¥} является пределом справа в точке x0 функции f(x) и писать limx®x0+0f(x) = A, если" e>0 $ d>0 : " xÎ(x0;x0+d) Ð f(x)ÎÊe(A)
Дадим определения односторонних пределов функции по Гейне.
Определение. Пусть заданы точка x0Ϊ и функция f(x). Будем говорить, что AΪÈ{-¥,+¥} является пределом слева в точке x0 функции f(x) и писать limx®x0-0f(x) = A, если для любой последовательности {xn} такой, что
limn®¥xn = x0 и " n Ð xn < x0 справедливо условие limn®¥f(xn) = A.
Будем говорить, что AΪÈ{-¥,+¥} является пределом справа в точке x0 функции f(x) и писать limx®x0+0f(x) = A, если для любой последовательности {xn} такой, чтоlimn®¥xn = x0 и " n Ð xn > x0 справедливо условие limn®¥f(xn) = A.
Задача. Доказать, что определения по Коши и по Гейне предела функции слева эквивалентны.
Задача. Доказать, что определения по Коши и по Гейне предела функции справа эквивалентны.
Задача. Пусть заданы точка x0Ϊ, функция f(x) и AΪÈ{-¥,+¥}. Доказать, что условие A = limx®x0f(x) эквивалентно выполнению двух условий: A = limx®x0-0f(x) и A = limx®x0+0f(x).