Обозначим множество значений всех элементов последовательности {an} через S. Из ограниченности сверху последовательности {an} следует ограниченность сверху множества S. Определим A = sup S. Тогда в силу замечания к теореме 1 §1 AΪ.

Докажем, что limn®¥ an = A.

Отсюда будет следовать сходимость последовательности {an} и равенство limn®¥ an = sup {an}

Согласно определению предела требуется доказать, что для любого e>0

$ N: " n³N Ð |an-A|<e        (1)

Так как A = sup S, то по определению супремума

" xÎS Ð x£A         (2)

и

" y<A $ xÎS: x>y         (3)

Применяя условие (3) для y=A-e, получим, что

$ xÎS: x>A-e, то есть,

существует nΧ: an>A-e.

Определим N=n. В силу нестрогого возрастания {an} имеем:

" k³N Ð ak ³ aN > A-e

С другой стороны, из условия (2) следует, что

" k Ð ak £ A

Поэтому при k³N выполнены неравенства A-e < ak < A. Следовательно, справедливо условие (1).   0

Назад