Докажем сначала, что из обратимости функции f(x) на X следует существование обратной функции к f(x) на X. По определению образа множества Y = f(X)

" yÎY $ xÎX: y=f(x)

Следовательно, существует функция g(y) такая, что

" yÎY Ð g(y)ÎX и y=f(g(y))     (1)

Покажем, что функция g(y) является обратной к функции f(x) на множестве X, то есть, для любого xÎX справедливо равенство

g(f(x)) = x     (2)

Пусть xÎX. Тогда f(x)ÎY и, в силу (1) получаем:

f(x)=f(g(f(x))     (3)

По определению обратимой функции из равенства (3) следует равенство (2).

Пусть теперь для функции f(x) существует обратная на множестве X функция g(y), то есть,

" xÎX Ð g(f(x)) = x     (4)

Покажем, что функция f(x) обратима на X, то есть для любых x1,x2 Î X из равенства f(x1) = f(x2) следует равенство x1 = x2. Из равенства f(x1) = f(x2) и условия (4) получаем:

x1 = g(f(x1)) = g(f(x2)) = x2.   0

Назад