Поскольку последовательность {bn} ограничена, то существует вещественное число M такое, что
" nΧ Ð |bn| £ M (1)
Если M £ 0, то из (1) следует, что b=0 и последовательность {an×bn} бесконечна мала. Осталось рассмотреть случай M>0.
Требуется доказать, что limn®¥ an×bn = 0, то есть, для произвольного e>0
$ N: " n³N Ð |an×bn| < e (2)
Так как {an} - бесконечно малая последовательность, то
" e > 0 $ N: " n³N Ð |an| < e
Подставляя в это условие e/M вместо e, получаем существование N такого, что
" n³N Ð |an| < e/M
Отсюда и из условия (1) следует условие (2). 0