Определение. Элемент MΪ È{-¥,+¥} называется точной веpхней гpанью или супремумом множества A̪ , если
1) M является верхней гранью множества A и
2) любое число M1, меньшее M, не является верхней гранью множества A.
Теорема 1. Для любого непустого числового множества супремум существует и единствен. Причем, если множество ограничено сверху, то его супремум - это число, а если множество неограничено сверху, то его супремум равен +¥.
Докажем существование конечного супремума для ограниченного сверху множества.
Докажем, что
+¥
является супремумом неограниченного сверху множества.
Докажем единственность супремума.
Определение. Пусть задано непустое множество A̪ . Супремум множества A будем обозначать через sup A.
Из теоремы 1 следуетЗамечание. Если множество A ограничено сверху, то sup AΪ , иначе sup A = +¥.