Пусть функция f(x) непрерывна на [a;b] и пусть f(a) £ y0 £ f(b). Применим метод деления отрезка пополам для того, чтобы получить последовательность вложенных отрезков {[ak;bk]} такую, что f(ak) £ y0 £ f(bk) для любого kΧ. Для этого рекусивно определим три числовые последовательности {ak}, {bk} и {ck}:

a1 = a,   b1 = b,   c1 = (a+b)/2

a_(i+1)=...

b_(i+1)=...

ci+1 = (ai+1+bi+1)/2

В силу теоремы для метода деления пополам, существует точка x0, общая для всех отрезков [ak;bk], причем

limk®¥ak = x0  и   limk®¥bk = x0    (1)

Осталось показать, что f(x0) = y0.

Из неравенств f(a) £ y0 £ f(b) и определения последовательностей {ak}, {bk}, {ck} по индукции получаем:

" k Ð f(ak) £ y0 £ f(bk)    (2)

Из условий (1) в силу определения непрерывности по Гейне функции f(x) на [a;b] получаем, что

limk®¥f(ak) = f(x0)  и   limk®¥f(bk) = f(x0)

Отсюда и из неравенств (2) по теореме о трех последовательностях {f(ak)}, {f(bk)}, {y0}, получаем, что limk®¥y0 = f(x0), то есть, y0 = f(x0).   0

Назад