§ 5. Свойства предела, связанные с неравенствами
Лемма. Пусть limn®¥ an = A, limn®¥ bn = B, где A,BΪÈ{-¥,+¥}, A>B. Тогда
$ N: " n³N Ð an > bn
Теорема о предельном переходе в неравенстве. Если limn®¥ an = A, limn®¥ bn = B, A,BΪÈ{-¥,+¥} и
$ N: " n³N Ð an £ bn,
то A£B.
Теорема о предельном переходе в неравенстве утверждает, что нестрогое неравенство сохраняется при предельном переходе.
Задача. Показать, что строгое неравенство не сохраняется при предельном переходе, то есть существуют последовательности {an}, {bn} и числа A,B такие, что
limn®¥ an = A, limn®¥ bn = B,
" n Ð an < bn,
но неравенство A < B не выполнено.