Определим функции
y(x) = âx-1 и
g(y) = y/ln(y+1), если y>-1 и y¹0
В силу доказанного предела limx®0 ln(1+x)/x = 1 по теореме о пределе частного двух функций получаем, что
limy®0 g(y) = 1 (1)
Из теоремы о непрерывности показательной функции следует, что
limx®0 y(x) = 0 (2)
Из монотонности экспоненты следует, что y(x)¹0 при x¹0. Отсюда и из (1), (2) в силу теоремы о замене переменных при предельном переходе получаем, что limx®0 g(y(x)) = 1, то есть, limx®0 (âx-1)/x = 1 0