Так как декартово произведение §´¨ счетно, то существует взаимно однозначное отображение f ' §´¨®§.

По определению рационального числа для любого qΩ существует пара (n,z)Χ´¨ такая, что q=z/n. Следовательно, существует функция N ' ©®§:

" qΩ $ nΧ, zΨ : q=z/n и N(q) = f(n,z)

Так как отображение f ' §´¨®§ взаимно однозначно, то функция N ' ©®§ задает нумерацию множества ©, причем различным элементам множества © соответствуют различные номера. Следовательно, в силу леммы 2, множество © конечно или счетно. Поскольку, согласно лемме 3, множество © бесконечно, то оно счетно.   0

Назад