§ 2. Теорема Архимеда и целая часть числа

В этом параграфе будет доказана теорема Архимеда и существование целой части числа. Для этого понадобятся следующие леммы.

    Лемма 1.   Пусть x - вещественное число и пусть для любого e > 0 существует целое число z такое, что |x-z| < e. Тогда x - целое число.

Логическая_формулировка Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

    Лемма 2.   Если A - ограниченное сверху множество целых чисел, то sup A - целое число.

Логическая_формулировка Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

    Теорема Архимеда.   Для любого действительного числа x существует натуральное число n такое, что n ³ x.

Логическая_формулировка Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

    Определение.   Будем говорить, что число y является целой частью действительного числа x, если число y целое, y £ x и y+1 > x.

Логическая_формулировка

    Теорема.   Для любого вещественного числа x существует целое число k, являющееся целой частью числа x.

Логическая_формулировка Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

    Определение.   Целую часть числа x будем обозначать через [x].

Логическая_формулировка

Предыдущая_страница Следующая_страница