Обозначим an = (1+1/n)n+1 при nΧ. Тогда в силу неравенства Бернулли

an > 1      (1)

Покажем, что последовательность {an} является нестрого убывающей, то есть, для любого натурального n

an+1 £ an      (2)

Обозначим g = an/an+1. Тогда g = (1+1/(n2+2×n))n+2×(n/(n+1)).

В силу неравенства Бернулли имеем: (1+1/(n2+2×n))n+2 ³ 1+(n+2)/(n2+2×n) = 1 + 1/n,

поэтому g ³ (1+1/n)×(n/(n+1)) = 1, следовательно, выполнено неравенство (2), то есть, последовательность {an} является нестрого убывающей.

Из условия (1) следует, что последовательность {an} ограничена снизу. Поэтому по теореме о пределе монотонной последовательности получаем сходимость {an}.     0

Назад