Предположим противное: существует неограниченный компакт X̪. По определению неограниченного множества
" MΪ $ xÎX: |x|>M
Следовательно," nΧ $ xÎX: |x|>n
То есть, существует последовательность {xn} такая, что
" nΧ Ð xnÎX и |xn|>n
Следовательно,limn®¥|xn| = +¥ (1)
В силу определения компакта получаем существование подпоследовательности {xmk} сходящейся к некоторому x0ÎX:
limk®¥xmk = x0 (2)
Из (1) следует, что
limk®¥|xmk| = +¥ (3)
В силу теоремы о пределе модуля из (2), (3) получаем противоречие, так как x0Ϊ. 0