Применяя определение предела функции по Коши к условию limx®x0 g(x) = BΪ, получаем
" e>0 $ d>0 : " xÎÉd(x0) Ð |g(x)-B| < e
Подставляя в это условие e = |B|, получаем существование d>0 такого, что
" xÎÉd(x0) Ð |g(x)-B| < |B|
Следовательно,
" xÎÉd(x0) Ð g(x)¹0 (1)
Покажем теперь, что limx®x0 f(x)/g(x) = A/B. Воспользуемся определением предела функции по Гейне. Пусть {xn} - последовательность Гейне в точке x0. Требуется доказать, что
limn®¥ f(xn)/g(xn) = A/B (2)
Из условий limx®x0 f(x) = A, limx®x0 g(x) = B в силу определения предела функции по Гейне следуют условия
limn®¥ f(xn) = A (3)
иlimn®¥ g(xn) = B (4)
Так как {xn} - последовательность Гейне в точке x0, то существует натуральное число N такое, что
" n³N Ð xnÎÉd(x0)
Следовательно, в силу (1) имеем:
" n³N Ð g(xn)¹0
Определим последовательность {bn} :
Тогда " n Ð bn¹0.
Так как предел последовательности не зависит от конечного числа ее элементов, то из условия (4) следует, что limn®¥ bn = B. Применяя теорему о пределе частного двух последовательностей к последовательностям {f(xn)} и {bn}, получим:
limn®¥ f(xn)/bn = A/B
Еще раз используя независимость предела последовательности от конечного числа ее элементов, получим требуемое условие (2). 0