Пусть задана последовательность отрезков {[ak;bk]}. Пусть {ck} - последовательность середин этих отрезков, то есть
" k Ð сk = (ak+bk)/2
Пусть для любого kΧ отрезок [ak+1;bk+1] равен отрезку [ak;ck] или отрезку [ck;bk].
Тогда " k Ð [ak+1;bk+1]Ì[ak;bk].
Поэтому в силу теоремы Кантора о вложенных отрезках существует точка x0 такая, что
" k Ð x0Î[ak;bk] (1)
Так как bk+1-ak+1 = (bk-ak)/2 для любого k, то bk-ak = (b1-a1)×21-k.
Следовательно, в силу соотношения limn®¥2-n = 0 (задача § 5) получаем:
limn®¥(bn-an) = 0.
Из (1) следуют неравенства " k Ð 0 £ bk-x £ bk-ak.
Поэтому в силу теоремы о трех последовательностях получаем limn®¥(bn-x) = 0, то есть, limn®¥ bn = x.
Соотношение limn®¥ an = x доказывается аналогично. 0