Пусть функция f(x) непрерывна на [a;b] и пусть f(a) £ y0 £ f(b). Применим метод деления отрезка пополам для того, чтобы получить последовательность вложенных отрезков {[ak;bk]} такую, что f(ak) £ y0 £ f(bk) для любого kΧ. Для этого рекусивно определим три числовые последовательности {ak}, {bk} и {ck}:
a1 = a, b1 = b, c1 = (a+b)/2
ci+1 = (ai+1+bi+1)/2
В силу теоремы для метода деления пополам, существует точка x0, общая для всех отрезков [ak;bk], причем
limk®¥ak = x0 и limk®¥bk = x0 (1)
Осталось показать, что f(x0) = y0.
Из неравенств f(a) £ y0 £ f(b) и определения последовательностей {ak}, {bk}, {ck} по индукции получаем:
" k Ð f(ak) £ y0 £ f(bk) (2)
Из условий (1) в силу определения непрерывности по Гейне функции f(x) на [a;b] получаем, что
limk®¥f(ak) = f(x0) и limk®¥f(bk) = f(x0)
Отсюда и из неравенств (2) по теореме о трех последовательностях {f(ak)}, {f(bk)}, {y0}, получаем, что limk®¥y0 = f(x0), то есть, y0 = f(x0). 0