Поскольку последовательность {bn} ограничена, то существует вещественное число M такое, что

" nΧ Ð |bn| £ M         (1)

Если M £ 0, то из (1) следует, что b=0 и последовательность {an×bn} бесконечна мала. Осталось рассмотреть случай M>0.

Требуется доказать, что limn®¥ an×bn = 0, то есть, для произвольного e>0

$ N: " n³N Ð |an×bn| < e         (2)

Так как {an} - бесконечно малая последовательность, то

" e > 0 $ N: " n³N Ð |an| < e

Подставляя в это условие e/M вместо e, получаем существование N такого, что

" n³N Ð |an| < e/M

Отсюда и из условия (1) следует условие (2).   0

Назад