Определим B - множество всех верхних граней множества A:

B={bΪ : b является верхней гранью множества A}.

    Из ограниченности сверху множества A следует непустота множества B. Так как a £ b для любых aÎA, bÎ B, то в силу аксиомы непрерывности действительных чисел существует число cΪ такое, что a £ c £ b для любых aÎA, bÎB.

    Покажем, что число c является супремумом множества A. Так как a £ c, то c является верхней гранью множества A, то есть первый пункт определения супремума выполняется. Остается доказать, что любое число M1, меньшее числа c, не является верхней гранью множества A. Пусть M1<c. Тогда из условия "bÎBÐ с £ b следует, что M1ÏB, то есть число M1 не является верхней гранью множества A.   0

Назад