Определение.   Элемент MΪ È{-¥,+¥} называется точной веpхней гpанью или супремумом множества A̪ , если

1) M является верхней гранью множества A и

2) любое число M1, меньшее M, не является верхней гранью множества A.

Логическая_формулировка

    Теорема 1.   Для любого непустого числового множества супремум существует и единствен. Причем, если множество ограничено сверху, то его супремум - это число, а если множество неограничено сверху, то его супремум равен +¥.

Докажем существование конечного супремума для ограниченного сверху множества. Логическая_формулировка Доказательство Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

Докажем, что +¥ является супремумом неограниченного сверху множества. Логическая_формулировка Доказательство Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

Докажем единственность супремума. Логическая_формулировка Доказательство Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

    Определение.   Пусть задано непустое множество A̪ . Супремум множества A будем обозначать через sup A.

Из теоремы 1 следует

    Замечание.   Если множество A ограничено сверху, то sup AΪ , иначе sup A = +¥.

Предыдущая_страница Следующая_страница