Предположим противное: существует неограниченный компакт X̪. По определению неограниченного множества

" MΪ $ xÎX: |x|>M

Следовательно,

" nΧ $ xÎX: |x|>n

То есть, существует последовательность {xn} такая, что

" nΧ Ð xnÎX и |xn|>n

Следовательно,

limn®¥|xn| = +¥     (1)

В силу определения компакта получаем существование подпоследовательности {xmk} сходящейся к некоторому x0ÎX:

limk®¥xmk = x0     (2)

Из (1) следует, что

limk®¥|xmk| = +¥     (3)

В силу теоремы о пределе модуля из (2), (3) получаем противоречие, так как x0Ϊ.   0

Назад