Пусть a > 1. Требуется доказать, что limx®0 ax = 1, то есть, что для любого e>0 существует число d>0 такое, что
" x: |x|<d и x¹0 Ð |ax-1| < e (1)
В силу леммы 1 и задачи limn®¥ a1/n = 1 и limn®¥ a-1/n = 1. Следовательно, существуют натуральные числа N, N0 такие, что |a1/N-1| < e и |a-1/N0-1| < e.
Определим d = min{1/N,1/N0}. Тогда при |x|<d имеем: -1/N0 < x < 1/N, следовательно, a-1/N0 < ax < a1/N. Отсюда в силу неравенств 1-e < a-1/N0 и a1/N < 1+e получаем неравенство |ax-1| < e, что доказывает условие (1). 0