§ 8. Непрерывность показательной, степенной и логарифмической функций

В этом параграфе, предполагая известными свойства степеней с рациональными показателями, дадим определение степени с вещественным показателем, а также докажем непрерывность показательной, степенной и логарифмической функций.

    Лемма 1.   Для любого числа a>0 справедливо условие limn®¥ a{1/n} = 1.

Доказательство леммы сначала проведем в случае a>1,

Логическая_формулировка Доказательство Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

а затем в общем случае a>0.

Логическая_формулировка Доказательство Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

    Задача.   Доказать, что для любого числа a>0 справедливо условие limn®¥ a{-1/n} = 1.

Логическая_формулировка Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

    Теорема 1.   Пусть заданы числа a>0 и xΪ. Тогда для любой последовательности рациональных чисел {qn} такой, что limn®¥ qn = x. Предел

limn®¥ aqn     (1)

существует и не зависит от последовательности {qn}.

Сначала покажем, что в случае a>1 последовательность {aqn} сходится.

Логическая_формулировка Доказательство Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

Теперь покажем, что последовательность {aqn} сходится в общем случае a>0.

Логическая_формулировка Доказательство Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

Покажем наконец, что предел (1) не зависит от последовательности рациональных чисел {qn}, имеющей заданный предел.

Логическая_формулировка Доказательство Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

    Задача.   Показать, что для любого числа xΪ существует последовательность рациональных чисел {qn} такая, что limn®¥ qn = x.

Логическая_формулировка Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

    Определение.   Пусть заданы числа a>0 и xΪ. Через ax будем обозначать предел (1), где {qn} - произвольная последовательность рациональных чисел такая, что limn®¥ qn = x.

Логическая_формулировка

Корректность данного определения следует из теоремы 1.

Предыдущая_страница Следующая_страница