Согласно определению предела требуется доказать, что
" e > 0 $ N: " n ³ N Ð |an+bn| < e
То есть, нам дано произвольное e0 > 0 и требуется доказать, что
$ N: " n ³ N Ð |an+bn| < e0 (1)
Поскольку limn®¥ an = 0 и limn®¥ bn = 0, то
" e > 0 $ N: " n ³ N Ð |an| < e
и" e > 0 $ N: " n ³ N Ð |bn| < e
Так как для данного нам e0 выполнено неравенство e0/2 > 0, то мы можем воспользоваться предыдущими условиями для e = e0/2 и получить существование таких N1, N2, что
" n ³ N1 Ð |an| < e0/2
и" n ³ N2 Ð |bn| < e0/2
Определим N = max{N1,N2}. Тогда при n ³ N будут выполнены неравенства n ³ N1, n ³ N2. Следовательно, |an| < e0/2 и |bn| < e0/2. Отсюда в силу неравенства треугольника получаем |an+bn| £ |an| + |bn| < e0/2 + e0/2 = e0.
Тем самым доказано нужное условие (1). 0