Согласно лемме 1 последовательности {an-A} и {bn-B} бесконечно малы. И требуется доказать, что последовательность {an×bn-A×B} бесконечно мала.
Заметим, что an×bn-A×B = an×(bn-B) + (an-A)×B.
Поэтому в силу леммы 2 достаточно доказать, что последовательности {an×(bn-B)} и {(an-A)×B} бесконечно малы.
Так как последовательность {an-a} бесконечно мала, а постоянная последовательность {B} ограничена, то по лемме 3 последовательность {(an-A)×B} бесконечно мала.
Из сходимости последовательности {an} по теореме об ограниченности сходящейся последовательности следует ограниченность этой последовательности. Отсюда в силу леммы 3 получаем, что последовательность {an×(bn-B)} также бесконечно мала. 0