Пусть последовательность {an} сходится, то есть существует число A: limn®¥ an = A. Тогда по определению предела
" e > 0 $ N: " n ³ N Ð |an-A| < e
Возьмем e=1. Тогда существует N такое, что
" n ³ N Ð |an-A| < 1 (1)
По определению ограниченности последовательности требуется доказать
$ M: " n Ð |an| £ M
Определим число M1 как максимальное из чисел |a1|, ..., |aN|, то есть
M1 = max {|an|, где n: n £ N} (2)
Определим М = max{M1,|A|+1}. Остается доказать, что для любого натурального n выполнено неравенство
|an| £ max{M1,|A|+1}
В случае n ³ N из условия (1) следует неравенство |an-A| < 1. Поэтому в силу неравенства треугольника |a_n| < |A|+1, а значит, доказываемое неравенство выполнено.
В оставшемся случае n < N из равенства (2) по определению максимума множества следует, что
" n £ N Ð |a_n| £ M1
Поэтому в силу неравенства треугольника |a_n| £ M1, и, следовательно, доказываемое неравенство выполнено. 0