§ 5. Свойства предела, связанные с неравенствами

    Лемма.   Пусть limn®¥ an = A, limn®¥ bn = B, где A,BΪÈ{-¥,+¥}, A>B. Тогда

$ N: " n³N Ð an > bn

Логическая_формулировка Доказательство Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

    Теорема о предельном переходе в неравенстве.   Если limn®¥ an = A, limn®¥ bn = B,  A,BΪÈ{-¥,+¥} и

$ N: " n³N Ð an £ bn,

то A£B.

Логическая_формулировка Доказательство Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

Теорема о предельном переходе в неравенстве утверждает, что нестрогое неравенство сохраняется при предельном переходе.

    Задача.   Показать, что строгое неравенство не сохраняется при предельном переходе, то есть существуют последовательности {an}, {bn} и числа A,B такие, что

limn®¥ an = A, limn®¥ bn = B,

" n Ð an < bn,

но неравенство A < B не выполнено.

Логическая_формулировка Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

Предыдущая_страница Следующая_страница