Определение. Натуральным логарифмом называется логарифм по основанию â: ln(x) = logâ(x).
Лемма 7. Пусть x>0, a>0, a¹1. Тогда справедлива следующая формула сведения логарифма по основанию a к натуральному логарифму:
loga(x) = ln(x)/ln(a)
Теорема 3. Для любого числа a>0 : a¹1 функция g(x) = loga(x) непрерывна на множестве (0;+¥).
Сначала рассмотрим случай a>1.
Затем докажем теорему 3 в общем случае.
Теорема 4. Пусть b>0, x0>0, x0¹1. Тогда функция f(x) = logx(b) непрерывна в точке x0.
Теорема 5. Для любого aΪ степенная функция f(x) = xa непрерывна на множестве (0;+¥).