Задача. Пусть
" e>0 $d>0, AΪ: " xÎÉd(x0)Ð |f(x)-A|<e
Доказать, что существует конечный предел функции f(x) в точке x0.
Задача. Пусть функция f(x) непрерывна в точке x0 и существует последовательность {ak}, сходящаяся к x0 и такая, что f(ak)³0 для любого kΧ. Доказать, что f(x0)³0.
Задача. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] и f(x)>0 для любого xÎ[a;b]. Доказать, что существует e>0 такое, что f(x)³e для любого xÎ[a;b].
Задача. Пусть функция f(x) непрерывна на луче [0;+¥) и существует конечный предел A = limx®+¥f(x). Доказать, что функция f(x) ограничена на [0;+¥).
Задача. Пусть функция f(x) непрерывна и не обращается в ноль на ª. Доказать, что либо f(x)>0 для всех xΪ, либо f(x)<0 для всех xΪ.