Определим функции

y(x) = âx-1   и

g(y) = y/ln(y+1), если y>-1 и y¹0

В силу доказанного предела limx®0 ln(1+x)/x = 1 по теореме о пределе частного двух функций получаем, что

limy®0 g(y) = 1     (1)

Из теоремы о непрерывности показательной функции следует, что

limx®0 y(x) = 0     (2)

Из монотонности экспоненты следует, что y(x)¹0 при x¹0. Отсюда и из (1), (2) в силу теоремы о замене переменных при предельном переходе получаем, что limx®0 g(y(x)) = 1, то есть, limx®0 (âx-1)/x = 1   0

Назад