Теорема о предельном переходе в неравенстве. Пусть x0ΪÈ{-¥,+¥}, limx®x0 f(x) = AΪÈ{-¥,+¥}, limx®x0 g(x) = BΪÈ{-¥,+¥} и пусть
$ d>0 : " xÎÉ(x0) Ð f(x) £ g(x)
Тогда A £ B.
Теорема о трех функциях. Пусть x0ΪÈ{-¥,+¥}, AΪÈ{-¥,+¥}, limx®x0 f(x) = A, limx®x0 g(x) = A и пусть
$ d>0 : " xÎÉ(x0) Ð f(x) £ h(x) £ g(x)
Тогда limx®x0 h(x) = A.
Следующую теорему удобно доказывать, используя определение предела функции по Коши.Теорема о замене переменных при предельном переходе. Пусть x0ΪÈ{-¥,+¥}, limx®x0 f(x) = y0ΪÈ{-¥,+¥}, limy®y0 g(y) = AΪÈ{-¥,+¥} и пусть
$ d>0 : " xÎÉ(x0) Ð f(x)¹y0 (1)
Тогда limx®x0 g(f(x)) = A.
Замечание. Если в теореме о замене переменных при предельном переходе не потребовать выполнение условия (1), то теорема становится неверной.