Пусть AΪÈ{-¥,+¥} является пределом по Коши функции f(x) в точке x0ΪÈ{-¥,+¥}. Покажем, что A является пределом по Гейне функции f(x) в точке x0. Пусть {xn} - произвольная последовательность Гейне в точке x0. Требуется доказать, что limn®¥ f(xn) = A, то есть, что для любого e>0 существует натуральное число N такое, что

" n³N Ð f(xn)ÎÊe(A)    (1)

Из определения предела функции по Коши следует существование d>0:

" xÎÉd(x0) Ð f(x)ÎÊe(A)    (2)

В силу определения последовательности Гейне имеем:

limn®¥ xn = x0 и " n Ð xn¹x0

Следовательно, согласно определению предела последовательности, существует натуральное число N такое, что

" n³N Ð xnÎÊd(x0)

Поскольку " n Ð xn¹x0, то

" n³N Ð xnÎÉd(x0)

Отсюда и из условия (2) следует условие (1).

Пусть теперь AΪÈ{-¥,+¥} является пределом по Гейне функции f(x) в точке x0ΪÈ{-¥,+¥}. Покажем, что A является пределом по Коши функции f(x) в точке x0.

Предположим противное: A не является пределом по Коши функции f(x) в точке x0, то есть, существует e>0 такое, что

" d>0 $ xÎÉd(x0): f(x)ÏÊe(A)

Следовательно,

" nΧ $ xÎÉ1/n(x0): f(x)ÏÊe(A)

Поэтому существует последовательность {xn} такая, что

" nΧ Ð xnÎÉ1/n(x0)      (3)

и

" nΧ Ð f(xn)ÏÊe(A)      (4)

Из условия (3) следует, что

limn®¥ xn = x0 и " n Ð xn¹x0,

то есть, последовательность {xn} является последовательностью Гейне в точке x0. Тогда, согласно определению предела функции по Гейне,

limn®¥ f(xn) = A,

что противоречит условию (4). Полученное противоречие показывает, что из определения предела функции по Гейне следует определение предела функции по Коши.   0

Назад