Пусть последовательность {an} сходится, то есть существует число A:

" e>0 $ N: " n³N Ð |an-A|<e     (1)

Требуется доказать фундаментальность {an}, то есть, что для любого e>0 существует такое N, что

" n³N, m³N Ð |an-am|<e     (2)

Применяя условие (1) для e/2, получаем существование N:

" n³N Ð |an-A|<e/2

Следовательно, в силу неравенства треугольника, для любых n³N, m³N справедливы неравенства

|an-am| £ |an-A|+|am-A| < e/2+e/2 = e, то есть, доказано (2).   0

Назад