§ 8. Принцип вложенных отрезков

    Теорема Кантора 1.   Если {[ak;bk]} - последовательность вложенных отрезков, то есть [ak+1;bk+1]Ì[ak;bk] для любого натурального k, то существует точка xΪ, общая для всех отрезков [ak;bk].

Логическая_формулировка Доказательство Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

    Лемма 1.   Если x,y - общие точки стягивающейся последовательности отрезков {[ak;bk]}, то есть такой, что limk®¥(bk-ak) = 0, то x=y. Иными словами стягивающаяся последовательность отрезков может иметь не более одной общей точки.

Логическая_формулировка Доказательство Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

Из теоремы Кантора 1 и леммы 1 следует

    Теорема Кантора 2.   Если {[ak;bk]} - стягивающаяся последовательность вложенных отрезков, то есть [ak+1;bk+1]Ì[ak;bk] для любого натурального k и limk®¥(bk-ak) = 0, то существует единственная точка xΪ, общая для всех отрезков [ak;bk].

Логическая_формулировка Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

Предыдущая_страница Следующая_страница