Пусть a > 1. Согласно лемме 2 § 7 главы 1 limn®¥ an = +¥. Поэтому для любого y0Ϊ существует N: aN > y0. Отсюда в силу возрастания функции f(x) = ax получаем, что

" x>N Ð ax > aN > y0

Следовательно,

limx®+¥ ax = +¥     (1)

Покажем теперь, что limx®-¥ ax = 0, то есть, для любого e>0 существует число x0 такое, что

" x < x0 Ð |ax| < e     (2)

Из условия (1) следует существование числа x1 такого, что

" x > x1 Ð ax > 1/e

Полагая x0 = - x1 и учитывая равенство a-x = 1/ax, получаем условие (2).   0

Назад