Лемма 4. Для любого числа a>1 справедливы условия
limx®+¥ ax = +¥ и
limx®-¥ ax = 0
Лемма 5. Пусть a>1. Тогда инфимум множества значений функции f(x) = ax, xΪ, равен 0, а супремум +¥.
Лемма 6. Пусть a>0, a¹1. Тогда множеством значений функции f(x) = ax, xΪ является луч (0;+¥).
Сначала рассмотрим случай a>1.
Затем докажем лемму 6 в общем случае.
Определение. Пусть заданы числа x>0 и a>0, a¹1. Логарифмом числа x по основанию a называется число a такое, что aa = x. Логарифм числа x по основанию a будем обозначать так: loga(x).
Замечание. Из леммы 6 следует, что логарифм определен при всех x>0 и a>0, a¹1.