Определение.   Элемент MΪ È{-¥,+¥} называется точной нижней гpанью или инфимумом множества A̪, если

1) M является нижней гранью множества A и

2) любое число M1, большее M, не является нижней гранью множества A.

Логическая_формулировка

    Замечание 1.   Непосредственно из определений следует, что элемент MΪÈ{-¥,+¥} является нижней гранью множества A̪, тогда и только тогда, когда -M является верхней гранью множества -A.

Логическая_формулировка Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

    Замечание 2.   Из замечания 1 следует, что элемент MΪ È{-¥,+¥} является инфимумом множества A̪, тогда и только тогда, когда -M является супремумом множества -A.

Логическая_формулировка Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

Из замечания 2 и теоремы 1 следует

    Теорема 2.   Для любого непустого числового множества инфимум существует и единствен.

Логическая_формулировка Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

    Определение.   Пусть задано непустое множество A̪. Инфимум множества A будем обозначать через inf A.

Из замечания 2 и теоремы 1 следует

    Замечание 3.   Если множество A ограничено снизу, то inf AΪ, иначе inf A = -¥.

Предыдущая_страница Следующая_страница