Теорема о предельном переходе в неравенстве.   Пусть x0ΪÈ{-¥,+¥}, limx®x0 f(x) = AΪÈ{-¥,+¥}, limx®x0 g(x) = BΪÈ{-¥,+¥} и пусть

$ d>0 : " xÎÉ(x0) Ð f(x) £ g(x)

Тогда A £ B.

Логическая_формулировка Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

    Теорема о трех функциях.   Пусть x0ΪÈ{-¥,+¥}, AΪÈ{-¥,+¥}, limx®x0 f(x) = A, limx®x0 g(x) = A и пусть

$ d>0 : " xÎÉ(x0) Ð f(x) £ h(x) £ g(x)

Тогда limx®x0 h(x) = A.

Логическая_формулировка Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

Следующую теорему удобно доказывать, используя определение предела функции по Коши.

    Теорема о замене переменных при предельном переходе.   Пусть x0ΪÈ{-¥,+¥}, limx®x0 f(x) = y0ΪÈ{-¥,+¥}, limy®y0 g(y) = AΪÈ{-¥,+¥} и пусть

$ d>0 : " xÎÉ(x0) Ð f(x)¹y0     (1)

Тогда limx®x0 g(f(x)) = A.

Логическая_формулировка Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

    Замечание.   Если в теореме о замене переменных при предельном переходе не потребовать выполнение условия (1), то теорема становится неверной.

Логическая_формулировка Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

Предыдущая_страница Следующая_страница