§ 8. Непрерывность показательной, степенной и логарифмической функций
В этом параграфе, предполагая известными свойства степеней с рациональными показателями, дадим определение степени с вещественным показателем, а также докажем непрерывность показательной, степенной и логарифмической функций.
Лемма 1. Для любого числа a>0 справедливо условие limn®¥ a{1/n} = 1.
Доказательство леммы сначала проведем в случае a>1,
Задача. Доказать, что для любого числа a>0 справедливо условие limn®¥ a{-1/n} = 1.
Теорема 1. Пусть заданы числа a>0 и xΪ. Тогда для любой последовательности рациональных чисел {qn} такой, что limn®¥ qn = x. Предел
limn®¥ aqn (1)
существует и не зависит от последовательности {qn}.
Сначала покажем, что в случае a>1 последовательность {aqn} сходится.
Теперь покажем, что последовательность {aqn} сходится в общем случае a>0.
Покажем наконец, что предел (1) не зависит от последовательности рациональных чисел {qn}, имеющей заданный предел.
Задача. Показать, что для любого числа xΪ существует последовательность рациональных чисел {qn} такая, что limn®¥ qn = x.
Определение. Пусть заданы числа a>0 и xΪ. Через ax будем обозначать предел (1), где {qn} - произвольная последовательность рациональных чисел такая, что limn®¥ qn = x.
Корректность данного определения следует из теоремы 1.