Пусть задана точка x0ΪÈ{-¥,+¥}. Рассмотрим {xn} - последовательность Гейне в точке x0. Существование такой последовательности доказано при решении задачи. Согласно условию леммы существует limn®¥ f(xn) = AΪ.

Пусть {yn} - произвольная последовательность Гейне в точке x0. Покажем, что limn®¥ f(yn) = A.

В силу леммы 1 существует последовательность {zn} такая, что

" k Ð z2×k = xk и z2×k-1 = yk

Так как {xk} и {yk} - последовательности Гейне в точке x0, то есть limk®¥ xk = x0, limk®¥ yk = x0 и " k Ð xk¹x0 и yk¹x0, то " n Ð zn¹x0 и по лемме 2 limn®¥ zn = x0. Следовательно, {zn} является последовательностью Гейне в точке x0. Поэтому, согласно условию леммы, limn®¥ f(zn) = A.

Так как последовательность {f(zn)} составлена из последовательностей {f(xn)} и {f(yn)}, то из условия limn®¥ f(zn) = A по лемме 2 получаем условие limn®¥ f(yn) = A.   0

Назад