Пусть AΪÈ{-¥,+¥} является пределом по Коши функции f(x) в точке x0ΪÈ{-¥,+¥}. Покажем, что A является пределом по Гейне функции f(x) в точке x0. Пусть {xn} - произвольная последовательность Гейне в точке x0. Требуется доказать, что limn®¥ f(xn) = A, то есть, что для любого e>0 существует натуральное число N такое, что
" n³N Ð f(xn)ÎÊe(A) (1)
Из определения предела функции по Коши следует существование d>0:
" xÎÉd(x0) Ð f(x)ÎÊe(A) (2)
В силу определения последовательности Гейне имеем:
limn®¥ xn = x0 и " n Ð xn¹x0
Следовательно, согласно определению предела последовательности, существует натуральное число N такое, что
" n³N Ð xnÎÊd(x0)
Поскольку " n Ð xn¹x0, то
" n³N Ð xnÎÉd(x0)
Отсюда и из условия (2) следует условие (1).
Пусть теперь AΪÈ{-¥,+¥} является пределом по Гейне функции f(x) в точке x0ΪÈ{-¥,+¥}. Покажем, что A является пределом по Коши функции f(x) в точке x0.
Предположим противное: A не является пределом по Коши функции f(x) в точке x0, то есть, существует e>0 такое, что
" d>0 $ xÎÉd(x0): f(x)ÏÊe(A)
Следовательно,
" nΧ $ xÎÉ1/n(x0): f(x)ÏÊe(A)
Поэтому существует последовательность {xn} такая, что
" nΧ Ð xnÎÉ1/n(x0) (3)
и" nΧ Ð f(xn)ÏÊe(A) (4)
Из условия (3) следует, что
limn®¥ xn = x0 и " n Ð xn¹x0,
то есть, последовательность {xn} является последовательностью Гейне в точке x0. Тогда, согласно определению предела функции по Гейне,
limn®¥ f(xn) = A,
что противоречит условию (4). Полученное противоречие показывает, что из определения предела функции по Гейне следует определение предела функции по Коши. 0