Задача. Пусть функция f(x) непрерывна на открытом множестве X̪. Доказать, что для любой константы CΪ множество точек xÎX таких, что f(x)<C является открытым.
Задача. Пусть функция f(x) непрерывна на замкнутом множестве X̪. Доказать, что для любой константы CΪ множество точек xÎX таких, что f(x)£C является замкнутым.
Задача. Пусть заданы множество X̪ и функция f(x). Пусть для любого числа C множества {x: xÎX и f(x)<C} и {x: xÎX и f(x)>C} открыты. Доказать, что функция f(x) непрерывна на множестве X.
Задача. Пусть заданы множество X̪ и функция f(x). Пусть для любого числа C множества {x: xÎX и f(x)£C} и {x: xÎX и f(x)³C} замкнуты. Доказать, что функция f(x) непрерывна на множестве X.