Пусть f(x) непрерывна в точке x0, функция g(y) непрерывна в точке f(x0) и пусть
" xÎÊd(x0) Ð j(x) = g(f(x)) (1)
Требуется доказать непрерывность функции j(x) в точке x0. Запишем это условие в стиле Коши. Тогда требуется доказать, что для любого e>0 существует d0>0 такое, что
" x : |x-x0|<d0 Ð |j(x)-j(x0)| < e (2)
Записывая условие непрерывности функции g(y) в точке f(x0) в стиле Коши, получаем существование числа s>0 такого, что
" y : |y-f(x0)|<s Ð |g(y)-g(f(x0))| < e (3)
Записывая условие непрерывности функции f(x) в точке x0 в стиле Коши, получаем существование числа d1>0 такого, что
" x : |x-x0|<d1 Ð |f(x)-f(x0)| < s
Отсюда и из условия (3), примененного для y = f(x), получаем, что
" x : |x-x0|<d1 Ð |g(f(x))-g(f(x0))| < e (4)
Определив d0 = min{d,d1}, из условий (1) и (4) получаем доказываемое условие (2). 0