Пусть элементы a,bΪ È{-¥,+¥} являются супремумами множества A. Требуется доказать, что a=b.

Предположим противное: a¹b. Тогда либо a<b, либо b<a.

Рассмотрим случай a<b. Поскольку a является супремумом множества A, то a является верхней гранью множества A. Поскольку b является супремумом множества A, то любое число M1, меньшее b, не является верхней гранью множества A. Так как a<b, то в случае aΪ получено противоречие. Поскольку a<b, то остается только случай a=-¥. Это противоречит тому, что a является верхней гранью множества A. Полученное противоречие завершает доказательство в случае a<b.

Случай a>b рассматривается аналогично.  0

Назад