Обозначим множество значений всех элементов последовательности {an} через S. Из ограниченности сверху последовательности {an} следует ограниченность сверху множества S. Определим A = sup S. Тогда в силу замечания к теореме 1 §1 AΪ.
Докажем, что limn®¥ an = A.
Отсюда будет следовать сходимость последовательности {an} и равенство limn®¥ an = sup {an}
Согласно определению предела требуется доказать, что для любого e>0
$ N: " n³N Ð |an-A|<e (1)
Так как A = sup S, то по определению супремума
" xÎS Ð x£A (2)
и" y<A $ xÎS: x>y (3)
Применяя условие (3) для y=A-e, получим, что
$ xÎS: x>A-e, то есть,
существует nΧ: an>A-e.
Определим N=n. В силу нестрогого возрастания {an} имеем:
" k³N Ð ak ³ aN > A-e
С другой стороны, из условия (2) следует, что
" k Ð ak £ A
Поэтому при k³N выполнены неравенства A-e < ak < A. Следовательно, справедливо условие (1). 0