Пусть последовательность {xn} неограничена сверху, то есть,

" MΪ $ n: xn > M     (1)

Покажем, что

" MΪ, NΧ $ n>N: xn > M     (2)

Пусть заданы MΪ, NΧ. Определим M1 = max{an, где n: n£N}. Тогда из условия (1) следует существование такого n, что xn > max{M,M1}. Из определения максимума множества {an, где n: n£N} получаем, что n>N, то есть, выполнено условие (2).

Следовательно, существует функция n(M,N) такая, что

" MΪ, NΧ Ð n(M,N)>N и xn(M,N) > M     (3)

Рекурсивно определим последовательность натуральных чисел {mi}:

m1 = n(1,1),   mi+1 = n(i+1,mi)

Из условия (3) следует строгое возрастание последовательности {mi} и условие

" k Ð xmk > k

Отсюда и из равенства limk®¥k = +¥ (см. задачу из §3) по теореме о двух последовательностях получаем, что

limk®¥xmk = +¥. Поэтому +¥ является частичным пределом последовательности {xn}.   0

Назад