Докажем условие limx®0-0 (1+x)1/x = â с помощью определния одностороннего предела функции по Гейне. Согласно этому определению требуется доказать, что для любой последовательности {xk} такой, что
limk®¥ xk = 0 и " k Ð xk<0 (1)
выполнено условие limk®¥ (1+xk)1/xk = â (2)
Из условия limk®¥ xk = 0 следует, что существует натуральное число N0 такое, что
" k³N0 Ð xk>-1/2
Определим последовательность {yk} такую, что yk = -xk/(1+xk) при k³N0 и yk = 1 при k<N0. Тогда из условий (1) следует, что
limk®¥ yk = 0 и " k Ð yk>0 (3)
В силу леммы 2 имеем:
limx®0+0 (1+x)1/x = â
Отсюда и из (3) по определению одностороннего предела функции по Гейне получаем, что limk®¥ (1+yk)1/yk = â (4)
Заметим, что
" k³N0 Ð (1+xk)1/xk = (1+yk)1/yk × (1+yk) (5)
Из условия (3) следует, что limk®¥ 1+yk = 1. Отсюда и из условий (4), (5) по теореме о пределе произведения двух последовательностей получаем требуемое услловие (2). 0