Пусть заданы две последовательности рациональных чисел {pn} и {q_{n}} такие, что

limn®¥ pn = x   и   limn®¥ qn = x      (1)

Покажем, что

limn®¥ apn = limn®¥ aqn     (2)

По лемме о соединении двух последовательностей в одну существует последовательность {zn} такая, что

" k Ð z2×k = pk и z2×k-1 = qk     (3)

По лемме о пределе последовательности, полученной соединением двух последовательностей, из условий (1) следует сходимость последовательности рациональных чисел {zn}. Поэтому, согласно первой части теоремы 1, последовательность {azn} сходится к некоторому числу A. Применяя лемму о пределе последовательности, полученной соединением двух последовательностей, к последовательностям {apn}, {aqn}, {azn}, получим сходимость последовательностей {apn} и {aqn} к тому же числу A. Следовательно, выполнено условие (2).   0

Назад