§ 2. Теорема Архимеда и целая часть числа
В этом параграфе будет доказана теорема Архимеда и существование целой части числа. Для этого понадобятся следующие леммы.
Лемма 1. Пусть x - вещественное число и пусть для любого e > 0 существует целое число z такое, что |x-z| < e. Тогда x - целое число.
Лемма 2. Если A - ограниченное сверху множество целых чисел, то sup A - целое число.
Теорема Архимеда. Для любого действительного числа x существует натуральное число n такое, что n ³ x.
Определение. Будем говорить, что число y является целой частью действительного числа x, если число y целое, y £ x и y+1 > x.
Теорема. Для любого вещественного числа x существует целое число k, являющееся целой частью числа x.
Определение. Целую часть числа x будем обозначать через [x].