1) Пусть существует последовательность {xn}, значения элементов которой лежат в X и такая, что limn®¥xn = x0. Тогда по определению предела последовательности для любого e>0 найдется n: xnÎÊe(x0). Так как xnÎX, то Êe(x0)ÇX¹Æ. Следовательно, x0 является точкой прикосновения множества X.

2) Пусть теперь x0 является точкой прикосновения множества X, то есть,

"e>0 Ð Êe(x0)ÇX¹Æ

Следовательно,

" n $ xÎX: |x-x0| < 1/n

Поэтому существует последовательность {xn} такая, что

" n Ð xnÎX и |xn-x0| < 1/n

А значит, limn®¥xn = x0.   0

Назад