Пусть функция f(x) непрерывна на компакте X. Требуется доказать, что множество f(X) является компактом, то есть из любой последовательности {yn}, принадлежащей этому множеству, можно выделить подпоследовательность {ymk}, сходящуюся к некоторому y0 Î f(X). Так как

" n Ð yn Î f(X) = {f(x), где x: xÎX},

то существует последовательность {xn} такая, что

" n Ð yn = f(xn) и xnÎX

Согласно определению компакта из последовательности {xn} можно выделить подпоследовательность {xmk}, сходящуюся к некотрому x0ÎX.

В силу определения непрерывности по Гейне функции f(x) на множестве X, последовательность {f(xmk)} будет сходиться к f(x0). Тем самым мы доказали, что из любой последовательности {yn} элементов множества f(X) можно выделить подпоследовательность {ymk} = {f(xmk)}, сходящуюся к некоторому y0 = f(x0) Î f(X).   0

Назад