Задача. Пусть функция f(x) непрерывна на луче [0;+¥), f(0) = 0 и limn®¥f(n) = +¥. Доказать, что для любого y>0 существует x>0: f(x)=y.
Задача. Пусть функция f(x) нестрого возрастает на ª и limn®¥f(n) = +¥. Доказать, что limx®+¥f(x) = +¥.
Задача. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [0;1] и 0£f(x)£1 для любого xÎ[0;1]. Доказать, что на [0;1] существует корень уравнения f(x)=x.
Задача. Пусть функции f(x) и g(x) непрерывны на отрезке [a;b]. Пусть f(a)£g(a) и f(b)³g(b). Доказать, что на [0;1] существует корень уравнения f(x)=g(x).
Задача. Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Доказать, что супремумы этой функции по отрезку [a;b] и по интервалу (a;b) совпадают.