Пусть последовательность {an} сходится, то есть существует число A:
" e>0 $ N: " n³N Ð |an-A|<e (1)
Требуется доказать фундаментальность {an}, то есть, что для любого e>0 существует такое N, что
" n³N, m³N Ð |an-am|<e (2)
Применяя условие (1) для e/2, получаем существование N:
" n³N Ð |an-A|<e/2
Следовательно, в силу неравенства треугольника, для любых n³N, m³N справедливы неравенства
|an-am| £ |an-A|+|am-A| < e/2+e/2 = e, то есть, доказано (2). 0