Докажем сначала, что из существования конечного предела limx®x0f(x) = A следует условие Коши
" e>0 $ d>0 : " x1,x2ÎÉd(x0) Ð |f(x1)-f(x2)|<e (1)
Применяя определение предела функции по Коши для e/2, получаем существование числа d>0 :
" xÎÉd(x0) Ð |f(x)-A|<e/2
Следовательно, для любых x1,x2ÎÉd(x0) в силу неравенства треугольника имеем:
|f(x1)-f(x2)| £ |f(x1)-A| + |f(x2)-A| < e/2 + e/2 = e
То есть, выполнено условие Коши (1).
Пусть теперь выполнено условие Коши (1). Докажем существование конечного предела limx®x0f(x). Воспользуемся определением предела функции по Гейне. Пусть {xn} - последовательность Гейне в точке x0. Используя критерий Коши существования предела последовательности, покажем существование конечного предела последовательности {f(xn)}. Требуется проверить фундаментальность последовательности {f(xn)}, то есть, что для любого e>0 существует натуральное число N :
" n³N, m³N Ð |f(xn)-f(xm)|<e (2)
Из условия (1) получаем существование d>0 :
" x1,x2ÎÉd(x0) Ð |f(x1)-f(x2)|<e (3)
Так как {xn} является последовательностью Гейне в точке x0, то есть, limn®¥xn = x0 и " n Ð xn¹x0, то существует натуральное число N :
" n³N Ð xnÎÉd(x0)
Отсюда и из (3) получаем условие (2), то есть, фундаментальность, а значит, и сходимость последовательности {f(xn)}.
Итак, доказано, что для любой {xn} последовательности Гейне в точке x0 существует конечный предел A = limn®¥ f(xn). Согласно лемме 3 этот предел не зависит от последовательности {xn}, то есть, существует число A такое, что для любой {xn} последовательности Гейне в точке x0 выполнено условие A = limn®¥ f(xn). Отсюда по определению предела функции по Гейне получаем: A = limx®x0f(x). 0