Так как inf f(X) < y0, то по определению инфимума существует точка x1Î(a;b) такая, что f(x1) < y0. Так как y0 < sup f(X), то по определению супремума существует точка x2Î(a;b) такая, что f(x2) > y0.

В случае x1 = x2 получаем, что y0 < f(x2) = f(x1) < y0 - противоречие. Рассмотрим случай x1 < x2. Применяя теорему Больцано-Коши о прмежуточном значении к отрезку [x1;x2], получим существование точки x0Î[x1;x2]Ì[a;b] такой, что f(x0) = y0. Случай x2 < x1 рассматривается аналогично.   0

Назад