§ 4. Односторонние пределы

Дадим определения односторонних пределов функции по Коши.

    Определение.   Пусть заданы точка x0Ϊ и функция f(x). Будем говорить, что AΪÈ{-¥,+¥} является пределом слева в точке x0 функции f(x) и писать limx®x0-0f(x) = A, если

" e>0 $ d>0 : " xÎ(x0-d;x0) Ð f(x)ÎÊe(A)

Логическая_формулировка

Будем говорить, что AΪÈ{-¥,+¥} является пределом справа в точке x0 функции f(x) и писать limx®x0+0f(x) = A, если

" e>0 $ d>0 : " xÎ(x0;x0+d) Ð f(x)ÎÊe(A)

Логическая_формулировка

Дадим определения односторонних пределов функции по Гейне.

    Определение.   Пусть заданы точка x0Ϊ и функция f(x). Будем говорить, что AΪÈ{-¥,+¥} является пределом слева в точке x0 функции f(x) и писать limx®x0-0f(x) = A, если для любой последовательности {xn} такой, что

limn®¥xn = x0 и " n Ð xn < x0 справедливо условие limn®¥f(xn) = A.

Логическая_формулировка

Будем говорить, что AΪÈ{-¥,+¥} является пределом справа в точке x0 функции f(x) и писать limx®x0+0f(x) = A, если для любой последовательности {xn} такой, что

limn®¥xn = x0 и " n Ð xn > x0 справедливо условие limn®¥f(xn) = A.

Логическая_формулировка

    Задача.   Доказать, что определения по Коши и по Гейне предела функции слева эквивалентны.

Логическая_формулировка Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

    Задача.   Доказать, что определения по Коши и по Гейне предела функции справа эквивалентны.

Логическая_формулировка Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

    Задача.   Пусть заданы точка x0Ϊ, функция f(x) и AΪÈ{-¥,+¥}. Доказать, что условие A = limx®x0f(x) эквивалентно выполнению двух условий: A = limx®x0-0f(x) и A = limx®x0+0f(x).

Логическая_формулировка Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

Предыдущая_страница Следующая_страница