Пусть множество X̪ содержит отрезок [a;b]. Требуется доказать, что множество X несчетно, то есть, что оно бесконечно и не является счетным.
Предположим, что множество X конечно. Тогда из включения (a;b)ÌX следует конечность интервала (a;b). Следовательно, существует m = max (a;b). Отсюда следует, что (m+b)/2 Î (a;b) и (m+b)/2 > m, что противоречит условию m = max (a;b). Полученное противоречие доказывает бесконечность множества X.
Предположим теперь, что множество X счетно. Тогда существует взаимно однозначное соответствие множеств § и X. Следовательно, существует последовательность {xn} такая, что
" x0ÎX $ nΧ: x0 = xn (1)
Легко проверить, что для любого отрезка [a;b] и для любого nΧ существует отрезок [c;d] такой, что [c;d]Ì[a;b] и xnÏ[c;d]. Следовательно, существуют функции c(a,b,n) и d(a,b,n) такие, что
" nΧ, a,b: a<b Ð c(a,b,n) < d(a,b,n) и
[c(a,b,n);d(a,b,n)]Ì[a;b] и xnÏ[c(a,b,n);d(a,b,n)]
Рекурсивно определим последовательности {an}, {bn}:
a1 = c(a,b,1), b1 = d(a,b,1), ai+1 = c(ai,bi,i), bi+1 = d(ai,bi,i) " iΧ
Тем самым мы определили последовательность вложенных отрезков {[an;bn]} такую, что
" n Ð xnÏ[an;bn] (2)
В силу теоремы Кантора о вложенных отрезках существует точка x0 такая, что
" n Ð x0Î[an;bn] (3)
Так как x0Î[a;b]ÌX, то из условия (1) следует существование натурального числа n такого, что x0=xn. Тогда из условия (2) следует, что x0Ï[an;bn], что противоречит условию (3). Полученное противоречие доказывает, что множество X не является счетным. 0