Теорема Больцано-Коши о промежуточном значении.   Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Пусть число y0 лежит между числами f(a) и f(b), то есть,

f(a) £ y0 £ f(b) или f(b) £ y0 £ f(a)

Тогда существует точка x0Î[a;b] такая, что f(x0) = y0.

Докажем сначала частный случай теоремы Больцано-Коши, когда f(a) £ y0 £ f(b).

Логическая_формулировка Доказательство Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

Используя рассмотренный частный случай теоремы Больцано-Коши для функции -f(x) и числа -y0, получаем теорему Больцано-Коши в другом частном случае, когда f(b) £ y0 £ f(a). Таким образом, теорема Больцано-Коши доказана в общем случае.

Логическая_формулировка Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

    Следствие из теоремы Больцано-Коши о промежуточном значении.   Пусть функция f(x) непрерывна на конечном или бесконечном интервале (a;b). Пусть число y0 лежит строго между инфимумом и супремумом функции f на (a;b), то есть,

inf f((a;b)) < y0 < sup f((a;b))

Тогда существует точка x0Î(a;b) такая, что f(x0) = y0.

Логическая_формулировка Доказательство Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

    Задача.   Пусть функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Доказать, что образом отрезка [a;b] при отображении f является отрезок [A;B], где A - минимальное, а B - максимальное значения f(x) на [a;b].

Логическая_формулировка Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

    Задача.   Пусть функция f(x) непрерывна и строго возрастает на отрезке [a;b]. Доказать, что образом отрезка [a;b] при отображении f является отрезок [f(a);f(b)].

Логическая_формулировка Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

Предыдущая_страница Следующая_страница