§ 6. Непрерывность функции на множестве
Дадим определение непрерывности функции на множестве по Коши.
Определение. Функция f(x) называется непрерывной на множестве X̪, если
" x0ÎX, e>0 $ d>0 : " xÎÊd(x0)ÇX Ð |f(x)-f(x0)|<e
Задача. Доказать, что функция f(x) непрерывна на множестве X̪ тогда и только тогда, когда выполнено следующее условие непрерывности по Гейне
" x0ÎX, {xn} : (" n Ð xnÎX) и limn®¥xn = x0 Ð limn®¥f(xn) = f(x0)
Задача. Доказать, что если функция f(x) непрерывна на множестве X̪, то функция f(x) непрерывна на любом подмножестве X1ÌX.
Задача. Доказать, что функция f(x) непрерывна на интервале (a;b) тогда и только тогда, когда функция f(x) непрерывна в каждой точке интерала (a;b).
Задача. Доказать, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a;b] тогда и только тогда, когда f(x) непрерывна справа в любой точке x0Î[a;b) и непрерывна слева в любой точке x0Î(a;b].