В силу лемм 1, 2 из компактности множества X̪ следует ограниченность и замкнутость этого множества. Пусть теперь множество X ограничено и замкнуто. Требуется доказать компактность X, то есть, что для любой последовательности {xn}, принадлежащей множеству X, существует ее подпоследовательность {xmk}, сходящаяся к некоторому x0ÎX:
limk®¥xmk = x0 (1)
Так как множество X ограничено, то последовательность {xn} ограничена. Следовательно, в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса существует подпоследовательность {xmk}, сходящаяся к некоторому x0Ϊ. Остается доказать, что x0ÎX.
Из (1) в силу критерия точки прикосновения следует, что x0 является точкой прикосновения множества X. Отсюда в силу замкнутости X получаем требуемое условие x0ÎX. 0