Глава 2. Предел и непрерывность функции
§ 1. Определение предела
Определение. Пусть заданы число e>0 и элемент xΪÈ{-¥,+¥}. Проколотой окрестностью точки x называется множество
Ée(x) = Êe(x) \ {x}
Задача. Пусть a Î ªÈ{-¥,+¥}, e>0, e1>0. Доказать, что Ée1(a) Ì Ée(a) тогда и только тогда, когда e1 £ e.
Определение. Будем говорить, что элемент AΪÈ{-¥,+¥} является пределом по Коши функции f(x) в точке x0ΪÈ{-¥,+¥}, если
" e>0 $ d>0 : " xÎÉd(x0) Ð f(x)ÎÊe(A)
Задача. Доказать, что число A является пределом по Коши функции f(x) в точке x0Ϊ тогда и только тогда, когда
" e>0 $ d>0 : " x: |x-x0|<d и x¹x0 Ð |f(x)-A|<e
Задача. Доказать, что +¥ является пределом по Коши функции f(x) в точке x0Ϊ тогда и только тогда, когда
" e>0 $ d>0 : " x: |x-x0|<d и x¹x0 Ð f(x)>1/e
Задача. Доказать, что число A является пределом по Коши функции f(x) в точке -¥ тогда и только тогда, когда
" e>0 $ d>0 : " x: x<-1/d Ð |f(x)-A|<e
Задача. Доказать, что -¥ является пределом по Коши функции f(x) в точке +¥ тогда и только тогда, когда
" e>0 $ d>0 : " x: x>1/d Ð f(x)<-1/e