Некоторые теоремы удобно доказывать методом деления отрезка пополам. Этот метод основан на рекурсивном построении последовательности отрезков [ak;bk] так, что каждый следующий отрезок [ak+1;bk+1] равен левой или правой половине предыдущего отрезка [ak;bk]. При применении метода деления отрезка пополам полезна следующая теорема.

    Теорема для метода деления пополам.   Если задана последовательность отрезков [ak;bk] такая, что каждый следующий отрезок [ak+1;bk+1] равен левой или правой половине предыдущего отрезка [ak;bk], то существует x0 - общая точка всех отрезков [ak;bk], причем x0 является пределом последовательностей {ak} и {bk}.

Логическая_формулировка Доказательство Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

    Теорема Больцано - Вейерштрасса.   Любая ограниченная последовательность имеет хотя бы один конечный частичный предел.

Логическая_формулировка Доказательство Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

    Теорема.   Любая неограниченная сверху последовательность имеет частичный предел, равный +¥.

Логическая_формулировка Доказательство Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

    Задача.   Доказать, что любая неограниченная снизу последовательность имеет частичный предел, равный -¥.

Логическая_формулировка Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

Из сказанного выше следует

    Обобщенная теорема Больцано - Вейерштрасса.   Любая числовая последовательность имеет хотя бы один конечный или бесконечный частичный предел.

Логическая_формулировка Доказать_самостоятельно Демонстрация_доказательства

Предыдущая_страница Следующая_страница