Для доказательства теоремы о единственности предела последовательности понадобятся леммы о непересекающихся окрестностях.
Лемма 1. Для любых элементов x,y Î ªÈ{-¥,+¥} таких, что x < y существует такое число e > 0, что окрестности Êe(x) и Êe(y) не пересекаются, причем
" aÎÊe(x), bÎÊe(y) Ð a<b
Из леммы 1 следуетЛемма 2. Для любых неравных элементов x,y Î ªÈ{-¥,+¥} существует такое число e > 0, что окрестности Êe(x) и Êe(y) не пересекаются.
Теорема о единственности предела. Числовая последовательность не может иметь более одного предела в ªÈ{-¥,+¥}.