Пусть {xn} - максимизирующая последовательность множества X, то есть,
limn®¥xn = sup X (1)
и" n Ð xnÎX
В силу компактности множества X существует подпоследовательность {xmk}, сходящаяся к некоторому x0ÎX:
limk®¥xmk = x0 (2)
Из (1), (2) следует, что x0 = sup X. Отсюда и из условия x0ÎX следует, что x0 = max X, то есть max X существует. 0