Предположим противное: последовательность {an} имеет два различных предела A и B.

В силу леммы 2 существует такое число e > 0, что окрестности Êe(A) и Êe(B) не пересекаются.

С другой стороны, из определения предела следует

$ N1 : n ³ N1 Ð anÎÊe(A)

и

$ N2 : n ³ N2 Ð anÎÊe(B)

Поэтому при n = max{N1,N2} получаем, что anÎÊe(A) и anÎÊe(B), то есть, окрестности Êe(A) и Êe(B) пересекаются. Противоречие.   0

Назад