Из сходимости последовательности следует ее фундаментальность в силу леммы 1. Пусть последовательность {an} фундаментальна. Докажем, что она сходится. Согласно лемме 2, последовательность {an} ограничена. Поэтому в силу теоремы Больцано-Вейерштрасса существует число A - частичный предел последовательности {an}.
Покажем, что limn®¥an = A, то есть, для любого e>0 существует N:
" n³N Ð |an-A|<e (1)
Применяя определение фундаментальности последовательности {an} для e/2, получаем существование N0:
" n³N0, m³N0 Ð |an-am|<e/2 (2)
Так как A является частичным пределом последовательности {an}, то существует подпоследовательность {amk} последовательности {an} такая, что limn®¥amk = A.
Применяя определение предела последовательности для e/2, получим существование N1:
" k³N1 Ð |amk-A| < e/2 (3)
Определим N = max{N0,N1}. Требуется доказать условие (1), то есть, что для любого n³N выполнено неравенство |an-A|<e. В силу свойства строго возрастающей последовательности натуральных чисел справедливо неравенство mn ³ n ³ N = max{N0,N1} ³ N0. Поэтому, согласно условию (2), |an-amn| < e/2. Из условия (3) следует неравенство |amn-A| < e/2. Следовательно, в силу неравенства треугольника,
|an-A| £ |an-amn| + |amn-A| < e/2+e/2 = e. 0