Пусть заданы две последовательности рациональных чисел {pn} и {q_{n}} такие, что
limn®¥ pn = x и limn®¥ qn = x (1)
Покажем, что
limn®¥ apn = limn®¥ aqn (2)
По лемме о соединении двух последовательностей в одну существует последовательность {zn} такая, что
" k Ð z2×k = pk и z2×k-1 = qk (3)
По лемме о пределе последовательности, полученной соединением двух последовательностей, из условий (1) следует сходимость последовательности рациональных чисел {zn}. Поэтому, согласно первой части теоремы 1, последовательность {azn} сходится к некоторому числу A. Применяя лемму о пределе последовательности, полученной соединением двух последовательностей, к последовательностям {apn}, {aqn}, {azn}, получим сходимость последовательностей {apn} и {aqn} к тому же числу A. Следовательно, выполнено условие (2). 0