Предел и непрерывность функции
Задача. Доказать, что если предел функции в точке x0 положителен, то в некоторой проколотой окрестности точки x0 функция положительна.
Задача. Доказать, что если функция непрерывна в точке x0 , то она ограничена в некоторой окрестности точки x0.
Задача. Доказать, что если " y $ x0 : " x>x0+yÐ f(x)>x+y, то limx®+¥ f(x) = +¥.
Задача. Доказать, что если функция f(x) удовлетворяет условию Липшица в точке x0, то есть существует константа L такая, что "xÐ |f(x)-f(x0)|£L×|x-x0|, то функция f(x) непрерывна в точке x0.
Задача. Доказать, что если выполнено условие
"e>0 $d>0, L>0: " xÎÊd(x0)Ð |f(x)-f(x0)|<L×|x-x0|+e,
то функция f(x) непрерывна в точке x0.