Пусть a > 1. Согласно лемме 2 § 7 главы 1 limn®¥ an = +¥. Поэтому для любого y0Ϊ существует N: aN > y0. Отсюда в силу возрастания функции f(x) = ax получаем, что
" x>N Ð ax > aN > y0
Следовательно,
limx®+¥ ax = +¥ (1)
Покажем теперь, что limx®-¥ ax = 0, то есть, для любого e>0 существует число x0 такое, что
" x < x0 Ð |ax| < e (2)
Из условия (1) следует существование числа x1 такого, что
" x > x1 Ð ax > 1/e
Полагая x0 = - x1 и учитывая равенство a-x = 1/ax, получаем условие (2). 0