Пусть последовательность {an} сходится, то есть существует число A: limn®¥ an = A. Тогда по определению предела

" e > 0 $ N: " n ³ N Ð |an-A| < e

Возьмем e=1. Тогда существует N такое, что

" n ³ N Ð |an-A| < 1           (1)

По определению ограниченности последовательности требуется доказать

$ M: " n Ð |an| £ M

Определим число M1 как максимальное из чисел |a1|, ..., |aN|, то есть

M1 = max {|an|, где n: n £ N}           (2)

Определим М = max{M1,|A|+1}. Остается доказать, что для любого натурального n выполнено неравенство

|an| £ max{M1,|A|+1}

В случае n ³ N из условия (1) следует неравенство |an-A| < 1. Поэтому в силу неравенства треугольника |a_n| < |A|+1, а значит, доказываемое неравенство выполнено.

В оставшемся случае n < N из равенства (2) по определению максимума множества следует, что

" n £ N Ð |a_n| £ M1

Поэтому в силу неравенства треугольника |a_n| £ M1, и, следовательно, доказываемое неравенство выполнено.   0

Назад